El mètode Newton

Hola, fins ara hem vist per a què serveix el Mètode de Newton, com funciona i hem definit els tres criteris d’aturada més importants i analitzat com triar la x0 per garantir la convergència del mètode en l’interval de cerca. En aquest vídeo presentarem diferents tipus d’aplicacions on el Mètode de Newton també pot ser útil. En concret, explicarem com resoldre arrels quadrades i inverses utilitzant càlculs senzills i equacions transcendents, que, per definició, impliquen que no es poden resoldre algebraicament.

Però abans de començar amb els nous continguts, anem a resoldre els exercicis que es van plantejar al final del vídeo anterior:

Realitzeu els càlculs que confirmen que [0,75,1] és un interval de cerca que garanteix la convergència del mètode de Newton per a la funció f(x)= 6x^3-2x^2-2x-1 i trieu un possible valor de X0.

Els càlculs necessaris per confirmar que [0,75, 1] és un interval de cerca que garanteix la convergència del Mètode de Newton serien els següents:

Recordem la fórmula de la Condició de Convergència:

|x*-x0|< 2/max |f’’(x)/f’(x)|

Ja varem veure que com que les funcions eren monòtones creixents havíem de calcular f’’(1)=32 i f’(0,75)=5,125

Per tant, |x*-x0|<2/6,244=0,32 aproximadament. En aquest cas, si que es satisfà la convergència, perquè, fins i tot en el pitjor dels casos, en què x* fos un dels extrems, per exemple x*=0,75, i agaféssim x0 a l’altre extrem, és a dir x0=1, la seva diferència seria menor que 0,32, que és el que exigeix la fórmula.

Com a X0 podríem agafar qualsevol valor x E [0,75,1], com per exemple X0=1. És important senyalar que en cas que les funcions no fossin monòtones creixents o monòtones decreixents, com en els exemples que hem vist fins ara, hauríeu de buscar el màxim i el mínim de les funcions derivant i igualant a 0 com fem habitualment.

Trobeu un interval de cerca que garanteixi la convergència del mètode de Newton per a la funció f(x)=x^3-2x-5 Per Bolzano ja havíem vist que un possible interval de cerca podia ser [2,3]. Anem a veure doncs si aquest interval garanteix la convergència del mètode per aquesta funció:

Com que també es tracta d’una funció monòtona creixent, calculem f’(2) i f’’(3) que seran els valors que maximitzaran el denominador de la fórmula. D’aquesta manera tenim que:

|x*-x0|<2/1,8=1,111 (que és major que 1, diferència entre l’extrem superior i l’extrem inferior de l’interval que havíem definit).

Per tant, podem confirmar que aquest interval és correcte i que per tant agafant qualsevol valor de x0 E [2,3] el Métode de Newton ens aproximaria el zero correctament.

Enumereu els tres criteris d’aturada que hem explicat i expliqueu-los amb les vostres paraules. Els criteris d’aturada que hem presentat són els següents:

- Que l’error absolut (o, com alternativa, l’error relatiu) entre dues iteracions consecutives sigui menor que una certa Tolerància T predefinida per l’usuari. (Introduir la fórmula)

- Que, per alguna de les iteracions, el valor absolut de la imatge de la xk sigui menor que una certa Tolerància T predefinida per l’usuari, entenent que com més s’apropi f(xk) a 0, més a prop serem de la solució.

- Que s’hagi arribat a k=kmax, on kmax és un nombre d’iteracions màxim prefixat per l’usuari.

Volem utilitzar el Mètode de Newton per a resoldre l’arrel quadrada d’un nombre (que no sigui trivial). Com plantejaríeu l’equació general? I en cas de que aquest nombre fos pi, sabríeu triar un x0 adequat?

Anem a veure com aplicaríem el Mètode de Newton per a resoldre arrels quadrades: Sigui a E [0, +inf) del qual volem calcular arrel (a) fent només operacions algebraiques. Òbviament, arrel(a) és el zero positiu de la funció f(x) =x^2 – a, per tant podem fer

Xn+1= Xn – f(Xn)/f’(Xn) = Xn – (Xn^2-a)/2Xn = (Xn^2 + a)/2Xn

En aquest cas podem començar per qualsevol X0 > 0 i podem donar arrel(a) amb la precisió que vulguem fent només sumes, multiplicacions i divisions.

En el cas concret de voler calcular l’arrel de pi utilitzant el Mètode de Newton i, sabent que arrel(pi)>1 perquè pi>1, podem agafar X0=2. Llavors:

X0= 2,000000000000000

X1= 1,785398163397448

X2= 1,772500774675609

X3= 1,772453851526627

X4=1,772453850905516

Una altra possible aplicació del Mètode de Newton és el càlcul d’inverses de manera que:

Si a E R \{0} del qual volem calcular 1/a sense fer cap divisió, podem manipular l’equació de manera que si x=1/a <-> a=1/x <-> a-1/x = 0. Per tant, calcular 1/a és equivalent a trobar el zero de la funció f(x)=a-1/x.

Si apliquem el Mètode de Newton ens quedarà:

Xn+1= Xn – f(x)/f’(x) = Xn – (a-1/Xn)/(1/Xn^2) = Xn (2-aXn)

I podrem calcular el valor de 1/a amb la precisió que vulguem només fent multiplicacions i restes.

Per exemple, si volem calcular 1/pi d’aquesta manera, com que pi>1, sabem que 0 < 1/pi < 1 i per tant podem agafar x0=0,5. Llavors:

X0=0,500000000000000

X1=0,214601836602552

X2=0,284520927641251

X3=0,314723149582307

X4=0,318269470601345

X5=0,318309881052253

X6=0,318309886183791

Finalment, una altra aplicació que us pot resultar interessant és la resolució d’equacions transcendents.

Aquest tipus d’equacions es donen sovint quan es vol calcular el punt d’intersecció entre els gràfics de dues funcions. Per exemple saber on tallen sin(x) amb log(x) ( sin(x)=log(x) ) no és una equació que es pugui resoldre algebraicament, i per tant cal aproximar-ne les solucions numèricament. En general, es tracta de aïllar les dues funcions a un costat de l’equació per poder-la igualar a zero i així poder aplicar el Mètode de Newton. En el nostre cas concret, seria:

Sin(x)=log(x) <-> sin(x)-log(x)=0

I per tant la nostra f(x)= sin(x)-log(x) i el problema s’haurà convertit en trobar les arrels d’aquesta funció. Per triar un X0 adequat, caldria fer un petit estudi gràfic de la funció, i si el feu podreu concloure que un possible interval de cerca podria ser [1,3]. Si prenem, per exemple, X0=2, llavors:

X0=2,0000000000000000

X1=2,235934063889129

X2=2,219185521531423

X3=2,219107150643726

X4= 2,219107148913746