El mètode Newton

Oferim aquesta classe en format vídeo perquè pugueu mirar-lo tantes vegades com sigui necessari per tal d'entendre tots els conceptes. Esperem que us sigui profitós.

En aquest primer apartat farem una breu introducció a aquest mètode numèric: Per a què serveix? En quins coneixements matemàtics es basa? Us explicarem, també, com funciona de manera gràfica.

En el segon apartat presentarem quins són els Criteris d’aturada d’aquest Mètode iteratiu, així com les condicions de convergència necessàries per a que funcioni correctament.

En el tercer i últim apartat veurem possibles exemples d’aplicacions del Mètode de Newton, com són el càlcul d’arrels quadrades el càlcul d’inverses i la resolució d’equacions transcendents, o sigui aquelles equacions que no es poden resoldre algebraicament.

Com podeu veure, la classe està destinada als alumnes dels Graus d’Enginyeria de l’ESUP que actualment estiguin cursant Càlcul, però ens encantaria que acabés sent útil a més persones.

Tot i que no és obligatori i per tant, no tindrà efectes en l’avaluació de l’assignatura, al final de cada apartat hem preparat uns breus exercicis per tal que pugueu comprovar si heu entès bé els coneixements.

Com sempre sabeu que ens podeu enviar un correu per acordar una hora de consulta per resoldre qualsevol dubte que us hagi pogut quedar.

L’Objectiu principal del mètode de Newton és: TROBAR ELS ZEROS O ARRELS D’UNA FUNCIÓ, i es defineix un zero o arrel d’una funció f: D C R -> R com un punt x0 E D tal que f(x0) =0.

És a dir els punts on la funció s’anul·la. Encara que no en sigueu conscients, segur que heu hagut de calcular moltes vegades les arrels d'una funció: per reduir fraccions, per saber on talla l’eix X una funció determinada, és a dir quan passa de tenir valors positius a valors negatius o a l’inversa, o per trobar-ne els punts estacionaris són alguns exemples.

En concret, igualant a zero la derivada d’una funció no només podeu trobar-ne els punts estacionaris, sinó que, com sabeu, alguns d’aquests poden ser màxims i mínims de la funció, i, per tant, per problemes d’optimització, on s’intenta maximitzar o minimitzar una variable en funció d’una altra, és imprescindible saber calcular les arrels o zeros de les funcions.

És fàcil que penseu diferents casos on això també s’aplica a l’economia, a la biologia o fins i tot a l’esport.

També és cert que vosaltres ja sabeu trobar els zeros o arrels d’algunes funcions senzilles, com són les rectes i les equacions de segon grau mitjançant eines algebraiques. Però com creieu que es resolen les funcions més complicades, com seria una equació de grau 7 o l’equació sin(x) = log(x)? . Per poder resoldre funcions complexes existeixen mètodes numèrics que el que fan és intentar aproximar la solució de la manera més precisa i ràpida possible.

El Mètode de Newton és un dels més coneguts i utilitzats per la seva simplicitat i la seva rapidesa, tot i que n’existeixen que són més acurats.

Per entendre el Mètode de Newton heu de tenir molt clars dos conceptes que ja us haurien de resultar familiars: per una banda la solució d’equacions lineals, i, per l’altra, la linealització d’una funció derivable en qualsevol punt x0 mitjançant la seva recta tangent.

Recordeu que aquesta equació coincideix amb el polinomi de Taylor de grau 1 de la funció. Si creieu que encara no la sabeu deduir a partir d’una gràfica, practiqueu-la.

Newton va partir d’aquests dos conceptes per formular el seu mètode per a calcular els zeros d’una funció. De manera força lògica, Newton va pensar que si no podia calcular l’arrel d’una funció de manera algebraica, si agafava la recta tangent a la funció d’un punt relativament proper a aquesta arrel, el zero d’aquesta recta tangent seria bastant proper al zero de la funció que estem buscant. Veiem gràficament aquesta idea tan senzilla.

A més, Newton va demostrar que si iteràvem aquest procés, de manera que el primer zero de la primera recta tangent servís per definir un nou punt de la funció on es tornaria a fer una segona recta tangent que ens donaria un segon zero, que a la vegada serviria per definir un tercer punt de la funció on faríem una tercera recta tangent que ens donaria un tercer zero i així successivament, cada nou zero s’aproparia més a la solució que estem buscant, i per tant quantes més iteracions féssim del seu Mètode, millor seria l’aproximació de l’arrel de la funció.

A partir del gràfic podeu veure que no és una idea massa complicada, i que té tot el sentit del món. Ara només queda veure com podem utilitzar aquest mètode en els nostres problemes.

Per fer-ho, deduirem la fórmula general del mètode a partir de les fórmules que hem vist abans. El nostre objectiu és trobar com es relaciona l’arrel que trobem en una iteració (Xk) amb el resultat obtingut en la iteració anterior (Xk-1), com en qualsevol mètode iteratiu. Normalment expressarem l’arrel que estem buscant com a X*, i els zeros que es van trobant són X1, X2, etc. X0 serà el punt inicial a partir del qual començarem a iterar el Mètode, que haurem de triar nosaltres.

Igualant la funció de la recta tangent en X0, [inserim fórmula recta tangent] podem trobar X1 i, per tant, la fórmula de X1, en funció de X0, serà x1 igual a x0 menys la funció en x0 dividit per la derivada de la funció en x0.

De la mateixa manera, si igualem la recta tangent en X1 a zero podrem trobar X2, i si ho aïllem de la mateixa manera que abans trobarem que x2 és igual a x1 menys la funció en x1 dividit per la derivada de la funció en x1.

Per tant de forma general podem escriure que xk+1 = xk – f(xk)/f’(xk)

Anem a veure com funcionaria aquesta fórmula aplicada a la funció f(x)=x^3-x+1 i agafarem X0= -1,5

Calculem f’(x)= 3x^2-1

Calculem X1 com -1,5 – (-0,875)/5,75 = -1,34783

Calculem X2 com

Calculem X3 com

Com podeu veure la diferència entre X3-X2 és menor que entre X2-X1, i aquesta, menor que X1-x0 i això vol dir que el mètode tendeix a x* cada vegada més ràpidament.

Les preguntes que ara us haurien de rondar el cap són: quan puc considerar que la solució obtinguda és prou bona? O d’una altra manera, quantes iteracions hauré de fer?

I, per què hem triat x0=-1,5? O com podem triar un X0 proper a X* si no sabem quan val X*?

Aquestes dues preguntes les contestarem en el proper vídeo. De moment us plantegem un parell de preguntes per a que pugueu avaluar els vostres coneixements sobre el que s’ha explicat fins ara.

En el proper apartat respondrem aquestes preguntes ja que us serviran per poder programar el Mètode de Newton en softwares com Matlab. Òbviament, avui en dia ningú es dedica a aplicar el Mètode de Newton de forma manual, però hem considerat important explicar-vos com es fa per a que entengueu el que fa l’ordinador quan el programeu a la pràctica.

A més, la descripció gràfica del mètode és prou senzilla com per a que tots la pugueu entendre i saber explicar. Esperem que us hagi resultat interessant i ens veiem al següent vídeo.