El método Newton

Ofrecemos esta clase en formato vídeo para que podáis verlo tantas veces como sea necesario, con tal de entender todos los conceptos. Esperemos que sea de provecho.

En este primer apartado haremos una breve introducción a este método numérico: ¿para qué sirve? ¿En qué conocimientos matemáticos se basa? Os explicaremos, también, cómo funciona de manera gráfica.

En el segundo apartado presentaremos cuáles son los Criterios de detención de este método iterativo, al igual que las condiciones de convergencia necesarias para que funcione correctamente.

En el tercer y último apartado veremos posibles ejemplos de aplicaciones del Método de Newton, como son el cálculo de raíces cuadradas, el cálculo de inversas y la resolución de ecuaciones transcendentes, es decir, aquellas ecuaciones que no se pueden resolver algebraicamente.

Como se puede apreciar, la clase está destinada a los alumnos de los Grados de Ingeniería de la ESUP que actualmente estén cursando Cálculo, pero nos encantaría que acabase siendo útil para más personas. A pesar de que no es obligatorio y por lo tanto, no tendrá efectos en la evaluación de la asignatura, al final de cada apartado hemos preparado unos breves ejercicios para que podáis comprobar si habéis entendido bien los conocimientos.

Como siempre, sabéis que nos podéis enviar un correo para concertar una hora de consulta para resolver cualquier duda que os haya podido quedar.

El objetivo principal del Método Newton es: ENCONTRAR LOS CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN, y se define un cero o raíz de una función f: D C R -> R como un punto x0 E D tal que f(x0) =0.

Es decir, los puntos en que se anula la función. Aunque no seas conscientes, seguro que habéis tenido que calcular muchas veces las raíces de una función: para reducir fracciones, para saber dónde se corta el eje X una función determinada, es decir cuando pasa de tener valores positivos a valores negativos o a la inversa, o para encontrar los puntos estacionarios, por ejemplo.

En concreto, igualando a cero la derivada de una función, no sólo podéis encontrar los puntos estacionarios, sino que, como sabéis, algunos de estos pueden ser máximos y mínimos de la función y, por lo tanto, para problemas de optimización, dónde se intenta maximizar o minimizar una variable en función de otra es imprescindible saber calcular las raíces o ceros de las funciones.

Es fácil pensar en distintos casos en que esto también se aplica a la economía, a la biología o incluso al deporte.

También es cierto que ya sabéis encontrar los ceros o raíces de algunas funciones sencillas, como las rectas y las ecuaciones de segundo grado mediante herramientas algebraicas. Pero, ¿cómo creéis que se resuelven las funciones más complejas, como sería una ecuación de grado 7 o la ecuación sin(x) = log(x)? Para poder resolver funciones complejas existen métodos numéricos que lo que hacen es intentar aproximar la solución de la manera más precisa y rápida posible.

El Método de Newton es uno de los más conocidos y utilizados por su simplicidad y su rapidez, a pesar de que existen otros que son más precisos.

Para entender el Método Newton debéis tener muy claros dos conceptos que ya os tendrían que resultar conocidos: por un lado, la solución de ecuaciones lineales y, por otro lado, la linealización de una función derivable en cualquier punto x0 mediante su recta tangente.

Recordad que esta ecuación coincide con el polinomio de Taylor de grado 1 de la función. Si creéis que todavía no sabéis deducir a partir de un gráfico, practicad.

Newton partió de estos dos conceptos para formular su método para calcular los ceros de una función. De manera bastante lógica, Newton pensó que si no podía calcular la raíz de una función de manera algebraica, si tomaba la recta tangente a la función de un punto relativamente cercano a esta raíz, el cero de esta recta tangente sería bastante cercano al cero de la función que estamos buscando. Veamos gráficamente esta idea tan sencilla.

Además, Newton demostró que si iterábamos este proceso, de manera que el primer cero de la primera recta tangente sirviera para definir un nuevo punto de la función donde se volvería a hacer una segunda recta tangente que nos daría un segundo cero, que a la vez serviría para definir un tercer punto de la función donde trazaríamos una tercera recta tangente que nos daría un tercer cero y así sucesivamente, cada nuevo cero se acercaría más a la solución que estamos buscando y, por lo tanto, cuantas más iteraciones realizásemos del su Método, mejor sería la aproximación de la raíz de la función.

A partir del gráfico podéis ver que no es una idea demasiado complicada y que todo cobra sentido. Ahora solo queda por ver cómo podemos aplicar este método a nuestros problemas.

Para hacerlo, deduciremos la fórmula general del método a partir de las fórmulas que hemos visto antes. Nuestro objetivo es encontrar cómo se relaciona la raíz que encontramos en una iteración (Xk) con el resultado obtenido en la iteración anterior (Xk-1), como en cualquier método iterativo. Normalmente, expresaremos la raíz que estamos buscando como X*, y los ceros que se vayan encontrando serán X1, X2, etc. X0 será el punto inicial a partir del cual comenzaremos a iterar el Método, y el cual deberíamos elegir nosotros mismos.

Igualando la función de la recta tangente en X0, [insertar fórmula recta tangente ] podemos encontrar X1 y, por lo tanto, la fórmula de X1, en función de X0, será x1 igual a x0 menos la función en x0 dividido por la derivada de la función en x0.

De la misma manera, si igualamos la recta tangente en X1 a cero podremos encontrar X2, y si lo aislamos de la misma manera que antes, encontraremos que x2 es igual a x1 menos la función en x1 dividido por la derivada de la función en x1.

Por lo tanto de forma general podemos escribir que xk+1 = xk – f(xk)/f’(xk)

Vamos a ver cómo funcionaría esta fórmula aplicada a la función f(x)=x^3-x+1 y cogeremos X0= -1,5

Calculemos f’(x)= 3x^2-1

Calculemos X1 como -1,5 – (-0,875)/5,75 = -1,34783

Calculemos X2 como

Calculemos X3 como

Como podemos ver, la diferencia entre X3-X2 es menor que entre X2-X1, y esta, menor que X1-x0, lo que significa que el método tiende a x* cada vez más rápidamente.

Las preguntas que ahora os tendrían que rondar por la cabeza son: ¿cuándo puedo considerar que la solución obtenida es suficientemente buena? O, de otro modo, ¿cuántas iteraciones tendré que realizar?

Y, ¿por qué hemos escogido x0=-1,5? O ¿cómo podemos escoger un X0 cercano a X* si no conocemos el valor de X*?

Responderemos a estas dos preguntas en el próximo vídeo. De momento, os planteamos un par de preguntas para que podáis evaluar vuestros conocimientos sobre lo que se ha explicado hasta ahora.

En el próximo apartado contestaremos a estas preguntas ya que os servirán para poder programar el Método de Newton en softwares como Matlab. Obviamente, hoy en día nadie se dedica a aplicar el Método de Newton de forma manual, pero hemos considerado importante explicaros cómo se hace para que entendáis lo que hace el ordenador cuando lo programáis en la práctica.

Además la descripción gráfica del método es lo bastante sencilla como para que todos la podáis entender y la sepáis explicar. Esperemos que os haya resultado interesante y nos vemos en el siguiente vídeo.